Bonjour,
Allez je me lance... ma réponse vaut ce qu'elle vaut mais je pense que dans votre cas, la mise à disposition et le détachement sont tous les deux compatibles vis à vis de l'organisme concerné.
(Ca me rappelle un vieux débat entre les notions de "collectivité locale" ou "collectivité territoriale")
Leur régime juridique respectif est légèrement différent mais l'essentiel c'est que votre choix respecte l'intérêt des deux collectivités et celui de l'agent concerné et qu'il sache quels sont les conséquences de l'une ou de l'autre position.
Il est important à mon avis que chaque organisme sache identifie bien son rôle vis à vis de l'agent (rémunération, suivi de carrière, discipline...) et de le rédiger correctement dans la convention si vous choisissez la mise à dispo.
Cordialement